在包（Bundle）分配问题中，矿工面临着固定数量的交易，而他们要将这些交易包含在给定的区块中，此外，矿工还可以选择在该区块中包含（或排除）的包（Bundle）数量。矿工通过将每个包（Bundle）包含在区块中来赚取利润，然而，包（Bundle）具有很多必须要考虑的分配约束。在这篇文章中，我们给出了一个简单的整数线性规划问题（ILP）公式，并提供了一些基本的扩展。
简介
矿工可提取价值（MEV）这个术语，指的是矿工根据交易排序可获得的任何超额利润。在区块链等去中心化系统中，用户通过点对点的gossip网络向矿工提交一组交易和费用。而矿工们会收集这些交易，并将它们分批成一个完全有序的序列，然后由大多数矿工验证并接受作为下一个区块。
然而，在很多区块链中（例如以太坊），矿工可选择要包含的交易集以及提交交易的顺序。
如果一名矿工提交一笔具有经济意义的交易，他们可以对交易重新排序以确保他们的交易首先执行，这也被称为抢先交易（front running）。自从MEV这一概念被提出以来，已经出现了很多涉及闪电贷、借贷以及三明治攻击的新型 MEV 形式。MEV代表了一种价值提取形式，而用户无法通过简单地修改其交易竞价行为来消除它。
公平（Fairness）。从理论上讲，MEV 可能导致区块链共识不稳定，并可能迫使用户在预期交易费用之外支付额外的费用来处理交易。这也引出了很多研究，而这些研究的重点是保证交易排序及包含方面的“公平性”。而公平算法尝试使用密码学方法，例如对交易排序或待处理交易状态的时间锁承诺（time-locked commitments），以强制基于时间的“公平”保证。
MEV竞拍。或者，有一些研究工作表明，MEV是区块链独有的，它无法通过纯粹的密码学方式删除。这一系列工作有效地表明，相比用密码学方式删除MEV，矿工和用户共享MEV利润将导致稳定的均衡。
在这个由 Flashbots 开创的世界中，“探索者”试图找到交易的最佳顺序，然后竞标由矿工以特定顺序执行的“包”交易。这种出价通过 MEV 拍卖进行调解——即参与者愿意在链下拍卖中向矿工支付额外的优先出价。因此，MEV竞拍是更受欢迎的，并且这种方式在2021 年为矿工创造了超过 7 亿美元的额外收入。
最优性（Optimality）。然而，一个自然要问的理论问题是，这种竞拍是否是最优的呢？目前，Flashbots竞拍通过使用约束求解器解决背包问题(Knapsack problem)来有效地执行交易包（bundle）。但是从理论上讲，我们应该期望近似整数线性规划 (ILP) 的解决方案是“最优”的吗？应该如何描述最优性？ 由于 MEV 是根据所有资产的可提取价值来定义的，因此任何最优概念都取决于任何一组交易和包（bundle）可实现的最大利润。
总结（Summary）。在这篇短论文中，我们给出了在单个区块中包含交易包（bundle）的最优ILP的首个正式描述。我们的描述侧重于 MEV 的三种操作形式，包括抢先交易（front running）、尾随交易（back running）以及三明治交易（sandwiching）。我们假设在实践中使用的精确gas模拟方法是作为预处理步骤执行的，它将分配问题（寻找最优包分配的问题）与正确估计单个包（bundle）利润的问题解耦。我们的公式可以很容易地用高级描述语言（例如CVXPY）进行优化并在实践中使用。
一、定义
在这节内容中，我们首先来描述一下这篇论文中使用的基本定义。
交易（Transaction）：矿工通常从一系列的交易开始，我们把这些交易写成一些集合T（将包含在区块中）。这些交易由区块链的用户提供，它们可以是Uniswap 或Curve的swap交易、借贷或预言机更新等交易。
包（Bundle）：矿工还接受许多由用户提交的包（Bundle），所谓包（Bundle）是一个带有关联交易的操作（action，我们稍后定义），每个包（Bundle）还包括了一些出价，例如，用户愿意支付多少钱才能将其包（Bundle）包含在区块中。矿工可以决定区块中包含哪些包（Bundle）以及交易。而矿工从包（Bundle）中获得的利润，等于区块中包含的各个出价的总和。
操作（action）：从以前开始，每个包（Bundle）都将一个操作（action）与一笔交易（t ∈ T）相关联。可能的操作（action）是：抢先交易t（在t之前执行一笔交易），尾随交易（在 t 之后立即执行一笔交易），以及三明治交易（在t前后都执行一笔交易）。
对于给定的交易 t ∈ T，要么是进行三明治交易t，要么是进行抢先交易以及尾随交易t。例如，如果有三个包（Bundle）与交易t关联，其中一个在t之后进行尾随交易，一个执行抢先交易，另一个执行三明治交易，那么矿工可以选择包括抢先交易包（Bundle）和尾随交易包（Bundle），或者是三明治交易包（Bundle），但不能同时包括这两个类型。
我们把这三个操作的空间称为A。现在我们可以很容易地将包（Bundle）定义为与交易t ∈ T 相关联的操作（a ∈ A），而它会有一个出价金额（ p > 0）。即包（Bundle）是一个三元组(a,t, p) ∈ A × T × R+，所有包（Bundle）的集合将由 B ⊆ A × T × R+ 给出。
利润最大化（Profit maximization）。剩下的问题是：矿工如何选择哪些交易包含在他们的区块中，以实现利润最大化？在下一节中，我们将展示这一问题可表述为一个简单的整数线性规划问题（ILP），而其通常可通过现代计算机在合理的时间内解决。
二、问题表述
我们将利润最大化问题表述为整数线性规划 (ILP)，我们将其称为包（Bundle）分配问题。
设置函数。为方便起见，我们将编写定义以下函数。这里，t ∈ T是一笔交易，而B是所有包（Bundle）的集合。
我们将s（t）定义为与三明治交易t关联的包（Bundle）集合：
类似地，f（t）是与t相关联的抢先交易，b（t）是与t相关联的尾随交易。我们假设 B 由 b = 1, 2, … 索引，其中 n 是提议的包（Bundle）的数量。
问题陈述：将包（Bundle）分配问题写成整数线性规划问题的一种简单方法如下：
这里，
是优化变量，如果当前区块中应包含包（Bundle）b，则xb为1，否则为0。问题数据是
，这是一个向量，使得 cb ≥ 0 是矿工在他们的区块中包含包（Bundle）b所获得的利润，而T是要包含在此区块中的交易集（不包括包（Bundle））。
标准形式。 问题 (1) 可以用矩阵表示法写得更简洁一些。为此，我们将定义m = |T|，交易总数，以及矩阵
为：
对于每笔交易t∈ T和包（bundle）b ∈ B，使用这些新的定义，问题（1）可用以下方式编写：
其中1是适当维度的全1向量，而
是优化变量。
解释。 我们可以将目标和约束解释如下。目标
仅仅是包含在区块中的包（bundle）给出的利润总和。第一个约束意味着区块中最多包含一个三明治包（bundle），或者区块中最多包含两个抢先交易或尾随交易 t的包（bundle）。第二个约束意味着对于每笔交易t，最多包含一个抢先交易包（bundle），以及最多包含一个尾随交易包（bundle），而最后一个约束是将x的条目约束为布尔值。
放宽松。一般来说，除了非常小的实例之外，问题 (1) 可能很难解决，因为x的条目有布尔约束。但是，在许多实际情况下，将布尔约束放宽为边界约束（box constraint，即 0 ≤ x ≤ 1），经过一些简单的舍入方案后，可以产生合理的实际性能以及合理的解决方案。一般来说，这个宽松问题的最佳目标，始终是矿工可能获得的最大利润的上限，而任何舍入方案都会给出一个下限。这可以用来给出所提议的包（bundle）分配的次优程度的一个界限。例如，如果放宽后的利润为1.2 ETH，而拟议分配的利润为1 ETH，则拟议分配的次优性最多为 1.2/1 − 1 = 20%。换句话说，最多可将提议的分配提高20%。
2.1扩展
问题（1）有几个简单但非常有用的扩展。
包（bundle）约束。例如，用户可能希望指定几个包（bundle），这些包（bundle）必须由矿工一次性全部包含，或者根本不包含。我们可以把它写成包（bundle）Bi ⊆ B的子集。对于 i = 1, 。 . . , ℓ，如果Bi中包含任何一个包（bundle），则矿工必须包含包（bundle）Bi的整个子集。
新的优化问题由下面的公式给出：
其中优化变量是
和
，而问题数据是在(2) 中定义的矩阵
和矩阵
：
换句话说，D是一个对角矩阵，其对角条目是集合Bi的大小，而 F 是一个矩阵，使得 (Fx)i 给出了 Bi 中要包含在区块中的包（bundle）的数量。约束Fx=Dy简单地表示，对于每个可能的i，要么包含所有| Bi | 包（bundle），要么只包含0个包（bundle）。
gas限制。另一种可能（且非常简单）的扩展，是在优化问题上包含总gas约束。例如，当包含在区块中时，每个包（bundle）b ∈ B可能使用一些最大量的gas（由gb ≥ 0给出）。我们可以很容易地附加约束，即包（bundle）使用的最大 gas 总量不超过交易（但不包括 包（bundle））执行后剩余的 gas 量；即
，其中 M ≥ 0 是剩余的gas量。我们注意到，这可能是一个很难获得合理限制的数量，因为当区块中包含包（bundle）时，交易使用的gas可能会发生巨大变化。有其他可能的方法来进行计算，但我们不在这里讨论它们。
三、结论
在这篇论文中，我们提供了一个简单但非常通用的公式，它可以用于解决矿工利润最大化包（bundle）分配的问题。虽然该问题通常是NP问题，但我们怀疑大多数整数线性规划求解器（甚至线性规划松弛）在实际情况下可能有很好的表现。