Lattice的历史
Lattice（格）在很早以前就被各大数学家研究了一遍。代表人物有Lagrange，Gauss和Minkowski等等。最近的几十年内，Lattice在密码学、通讯、密码分析上有了很大的应用价值，是非常火的一个领域。
近代Lattice时间线：
1982：LLL basis reduction theorem
使用Lattice来做Cryptanalysis
1996：Ajtai-Dwork
第一次把Lattice中Average-case与Worst-case的复杂度问题关联起来
提出了使用Lattice构造的One-way Function与CRHF（Collision Resistant Hash Function）
2002：找到了Average-case/worst-case复杂度之间的关系，基于Lattice的协议变得更加高效
2005：Regev提出了LWE，并且发现其量子抵抗性
提出PKE，IBE，ABE，FHE等等的可能性
Lattice是什么
Lattice可以被想象成是一个空间中很多有规律分布的、离散的点。
我们可以对此Lattice进行任意的线性变换（Linear Transformation）B，然后可以得到新的Lattice。
Lattice与Bases（格与基）
更好的描述一个格的方法是使用基向量。
同理可得，我们可以用线性代数中学到的基变更（Change of basis）给这个Lattice找到一组新的基C。
如果系统性的定义一下Lattice的话，那么我们可以说Lattice是Rn这个空间中的一个离散的、具有加法运算的子群（A discrete additive subgroup）。
Lattice的基本属性
同理可得，一个Lattice的Determinant也是一样的——对应的基向量所组成的Parallelepiped的体积。
同理，我们换了一组基向量，也可以计算它的Determinant。
值得注意的是，无论我们怎么更换基向量，Determinant的大小，即基向量组成的多面体的体积是相同的。给定任意的一组基向量，我们都可以有效的找到这个Lattice空间的Determinant。
Lattice的密度
我们可以用一个Lattice的Determinant来衡量这个格的点阵分布的密度。
首先，我们把上一部分基向量组成的多面体的中心挪到原点上来。这样，空间P仍然保持相同的体积。
随后，我们可以把这个多面体复制多份，然后平移到每一个Lattice中的点上。这样我们就会得到很多份P，并且这些多面体可以平分整个多维空间Rn。
此时，我们如果在这个空间中任意的画一个球体（多维空间即超球体），然后可以数数看这个球体中覆盖了多少Lattice里的点。点的数量平均于球体的体积，就是这个格的密度了。
这个概念理解起来也非常简单。我们的球体中有多少个Lattice的点，其实大概和球体的体积中有多少个det（L）的多面体，这两个比例大致相同。
最短距离
距离函数（Distance Function）与覆盖半径（Covering Radius）
给定任意一个点t（这个点不需要在Lattice上），我们可以定义距离函数u（t,L）为这个点到附近的Lattice点的最短距离。
同理可得，我们也可以左右移动t的位置，然后就可以找到在这个Lattice中可以得到的最大的u。我们一般称这个最大值叫覆盖半径（Covering Radius）。
为什么称这个最远距离为覆盖半径呢，其实很简单。我们可以假设在这个Lattice中，以每个格点为圆心画很多歌圆。
如果逐渐把圆的半径扩大的话， 那么所有的圆就会逐渐开始覆盖整个Rn空间。
直到所有的圆正好完美的覆盖了所有的空间的时候，这个时候的半径，就是我们之前得到的u了。这就是覆盖半径这一名字的由来。
Lattice的Smoothing
如果我们把上面的覆盖圆的概念稍微转换一下，假设我们不是在每个格点上叠加一个圆形，而是叠加一个圆形范围内取值的随机噪音，那么当圆的半径达到覆盖半径之后，这个Lattice本身就和背后的连续空间Rn合二为一了。
但是如果就只是在覆盖半径上的话，可以在图上发现，噪音覆盖的分布非常的不平均，因为格点之间相互的位置的问题。这也就是说，叠加了噪音之后，最后得到在Rn上的取值分布也不平均。
如果想让取值分布更加平均的话，我们就需要更多的Smooth（平滑化？）这个Lattice，即继续扩大圆的半径。理论上当半径接近于无限大的时候，我们得到的分布是最完美、最平均的。但是当圆无限大了之后，这个构造就没有太多实际操作的意义了。
所以一般来说，我们都会给这个Smoothing的半径一个最大上限。这个最大上限是由这个Lattice中距离最大的最短向量来决定的。因为当我们的半径大于了这个最短向量之后，那么这个圆就会覆盖太多的点（因为最短距离决定了点到点之间的距离），然后这个构造就失去了意义。
Minkowski凸集定理（Convex body theorem）
对于Lattice，Minkowski给出了几个比较有意思的定理。第一个定理是用于寻找一个格点周围最近的其他格点的，即凸集定理。
在整数格Zn中非常好理解，因为以原点出发到所有下一个点这段距离构成的空间，恰好就是2n，所以说任何凸集（集合的表面不能有凹陷）只要体积大于2n，那就一定会溢出这段空间，进而覆盖某个非0的格点。通过Pigeonhole Principle（鸽子洞原理）就可以很生动的理解了。
接下来，如果我们换成一个不规则的Lattice，即在原有的Zn上叠加线性变换，这个定理还是成立的。
Minkowski第二定理
